ادامه ی مطلب رو ببینید
منظور از نیروی مقاوم نیرو‌هایی مثل اصطکاک ، مقاومت هوا ، مقاومت سیال و ... هستش که در برابر حرکت در خلاف جهت حرکت نیرو وارد میکنن .
حرکت افقی با مقاومت خطی :
مقاومت با توان اول سرعت متناسبه ، یعنی:
f(x)= - c v^2
با حل این معادله میتونید تابع مکان جسم رو بر حسب زمان بدست بیارید و با میل دادن حد t (زمان) به بینهایت حداکثر جابجایی متحرک رو بدست بیارید .
نکته‌ی خیلی جالب در مورد این گونه حرکت اینه که شما هرچه قدر سرعت اولیه‌ی یک حرکت با مقاومت خطی رو زیاد کنید ، مسافت طی شده تا قبل از توقف بیشتر میشه اما زمان حرکت برای تمام مقادیر سرعت‌های اولیه یکسانه، همونطور که تو برنامه میبینید 2 تا شرایط اولیه دادیم که فرقشون فقط توی سرعت اولیه‌ی جسم هست ، با رسم نمودار این دو حرکت میبینید که بعد از گذشت تقریباَ 3 ثانیه نمودار بصورت افقی در میاد که حاکی از عدم تغیر مکان جسم است ، یا به عبارت بهتر جسم ساکن میشه ، اما به مسافت‌های طی شده دقت کنید .
حرکت افقی با مقاومت درجه 2 :
مقاومت با توان دوم سرعت متناسبه ، یعنی:
f(v)= - c v^2
این هم مثل قبلی حل میشه و معادله‌ی حرکتش بدست میاد اما یه فرق خیلی جالبی با قبلی داره ، اونم اینکه جسم هیچ وقت متوقف نمیشه ، این رو با حد گرفتن از معادله‌ی حرکت براتون نشون دادم.
سقوط آزاد با مقاومت هوا :
برای این حالت خاص یکی از مسائل کتاب فولز رو حل میکنیم(فصل 2 ، آخرین مسئله) :
مسئله این طوره که یه جسم به وزن 70 کیلو از ارتفاع 32 کیلومتری زمین سقوط میکنه ، زمان برخورد با زمین رو در حالتهای زیر میخاد:
الف) بدون مقاومت هوا و ثابت بودن شتاب گرانش
ب) ثابت بودن گرانش و نیروی مقاوم برابر با :
f(v)= - c v^2
که c رو برای این جسم نیم در نظر گرفته
ج) نیروی مقاوم برابر همون نیروی قبلی با این تفاوت که c برابر است با:
C = 0.5 e^(-y/H)
که y ارتفاع از سطح زمین و H = 8 km ارتفاع مقیاس جو است و شتاب گرانش هم با این رابطه داده شده:
g = 9.8 / [1+(y/Re)]^2
که در اون y ارتفاع از سطح زمین و Re = 6370 km شعاع زمین هست.
د) برای حالت آخر خاسته نمودار شتاب ، سرعت و ارتفاع جسم رو برحسب زمان رسم کنید.
خوب حالا حلش ، برای حالت الف از این معادله استفاده میکنیم:
my''[t] == -m g
برای حالت ب از این یکی استفاده میکنیم :
my''[t] == -mg - c y'[t ]
و برای حالت ج هم از این:
my''[t] == -m g[y[t]] - c[y[t]] y['[t]]
مورد اول و دوم چیزه خاصی ندارن ، اول y[t] رو بدست میاریم بعد مساوی صفر میزاریم تا زمان برخرد با زمین بدست بیاد ، تو حالت الف چون دوتا زمان بدست میاد و یکی از اونها منفیه و بدردمون نمیخوره از [[2]] برای نمایش دادن جواب دلخواهمون استفاده کردیم . توی حالت ب هم بعد از حل، با وجود یه ایروره کوچولو ، جواب درست رو میده و این پیغام خطا اهمیتی نداره . اما برای حالت سوم ، اول g و c باید به صورت تابع تعریف بشن ، بعداز این میبایستی مثل معادلات قبلی لز DSolve استفاده کنیم ، اما این معادله مثل اینکه خیلی گردن کلفته چون با برای حلش متمتیکا حدود 5 دقیقه زمان برد و آخرشم حل نکرد ، به خاطر همین این دستورو بین (* *) آوردم که اجرا نشه ، پس اگه شما خاستین شانستونو امتحان کنید اول (* *) ها رو بردارید بعد اجراش کنید . خوب اگه با DSolve نشد باید سراغ NDSolve رفت ، ما با توجه به موارد قبلی میدونیم زمان برخرد چقدره ، پس میتونیم بازه‌ی این دستور رو با توجه به این یه مقدار مناسب بزاریم. اگه طبق روال گذشته از Solve برای پیدا کردن زمان برخورد استفاده کنید میبینید که یه جواب دری وری بدست میاد ، این جاس که باید از FindRoot استفاده کرد ، همون طور که گفتم زمان برخورد رو میدونیم در چه بازه‌ایه ودر نتیجه میتونیم بازه‌ی جوستجوی ریشه‌ی این دستور رو حول و حوش این نقطه بدیم.
همون طور که میبینید نمودار هایی که مسئله خواسته رسم شدن ، فقط به این نکته توجه کنید که این نمودارها برحسب زمانند و یه وقت نگید چرا این جسمه حرکتش پرتابه‌ایه !
توی نمودار سرعت و شتاب منفی بودن ارقام بدلیل جهتشونه . راستی توی صورت سئوال اومده بود چرا هنگام سقوط شتاب مثبت میشه ، شمام تو شکل اینو میبینید ، واقعاَ چرا؟
در آخر هم چنتا دستور رو باهم قاطی کردم تا این سقوط رو بصورت واقعی و طبیعی نشون بده.